En matemática y física, un vector^[a]​ es cualquier ente matemático que se puede representar mediante un segmento de recta orientado dentro del espacio euclidiano.

Un vector con un origen fijado queda determinado a partir de dos elementos:

• Una semirrecta a partir de dicho origen, es decir, una dirección hacia la que apunta.^[b]​
• Un número no negativo, llamado módulo del vector y que mide su tamaño.

Alternativamente, se puede fijar un sistema de coordenadas del espacio ${\displaystyle n}$-dimensional; entonces un vector queda unívocamente determinado mediante ${\displaystyle n}$ números, llamados coordenadas del vector. El ejemplo más sencillo son las coordenadas cartesianas, un sistema de ${\displaystyle n}$ ejes reglados que se suelen tomar perpendiculares entre sí.

Así, fijado un sistema de ejes cartesianos —en otras palabras, un punto origen y una base— un vector tridimensional queda completamente determinado por tres números, llamados coordenadas cartesianas. Más concretamente, dados tres números ${\displaystyle (x,y,z)}$ se puede trazar una flecha o vector siguiendo estos pasos:

1. Desplazarse ${\displaystyle x}$ unidades en la dirección del eje ${\displaystyle X}$.
2. Desplazarse ${\displaystyle y}$ unidades en la dirección del eje ${\displaystyle Y}$.
3. Desplazarse ${\displaystyle z}$ unidades en la dirección del eje ${\displaystyle Z}$.
4. Trazar la flecha desde el punto origen hasta el de llegada.

En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta, ya que para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclidiano se pueden representar geométricamente como segmentos de recta ${\displaystyle \mathbb {R} }$, en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (bidimensional), o en el espacio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (tridimensional).

Por lo tanto, la definición usada en física de vector como un segmento de recta orientado (en el plano o en el espacio) es un caso particular de esta noción. Es posible describir fenómenos físicos mediante magnitudes físicas vectoriales como las siguientes:

• La velocidad de un automóvil. No sería suficiente describirla con tan solo un número, que es lo que marca el velocímetro, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige).
• La fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa.
• El desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir la distancia que recorre, y la dirección del movimiento, o bien la posición inicial y final del objeto.